HEPTADECAGON: ÖZELLIKLER, KÖŞEGENLER, ÇEVRE, ALAN - MATEMATIK - 2025

Onyedigen 17 taraf ve 17 köşeler ile düzenli çokgendir. Yapısı Öklid tarzında, yani sadece cetvel ve pusula kullanılarak yapılabilir. Yapım prosedürünü 1796'da bulan, ancak 18 yaşında olan büyük matematik dehası Carl Friedrich Gauss'du (1777-1855).

Görünüşe göre Gauss, bu geometrik şekle her zaman çok eğilimliydi, öyle ki onun yapısını keşfettiği günden itibaren bir matematikçi olmaya karar verdi. Ayrıca, yedincigenin mezar taşına kazınmasını istediği de söylenir.

Şekil 1. Yediligen, 17 kenarı ve 17 köşesi olan düzgün bir çokgendir. Kaynak: F. Zapata.

Gauss ayrıca, bazılarında tam Öklid yapısına sahip olmadığından, hangi normal çokgenlerin cetvel ve pusula ile inşa edilme olasılığına sahip olduğunu belirleyen formülü buldu.

Heptadecagonun özellikleri

Özelliklerine gelince, herhangi bir çokgen gibi, iç açılarının toplamı önemlidir. N kenarlı normal bir çokgende, toplam şu şekilde verilir:

Radyan cinsinden ifade edilen bu toplam şuna benzer:

Yukarıdaki formüllerden, bir yedegenin her bir iç açısının aşağıdaki şekilde verilen kesin bir a ölçüsüne sahip olduğu kolayca anlaşılabilir:

İç açının kabaca şöyle olduğunu izler:

Köşegenler ve çevre

Köşegenler ve çevre diğer önemli hususlardır. Herhangi bir çokgende köşegenlerin sayısı:

D = n (n - 3) / 2 ve yedegen durumunda, n = 17 olarak, D = 119 köşegenine sahibiz.

Öte yandan, yedincigenin her iki kenarının uzunluğu biliniyorsa, normal yedekigenin çevresi, bu uzunluğun 17 katı veya her bir kenarın d uzunluğunun 17 katına eşit olan şey eklenerek bulunur:

P = 17 gün

Heptadecagonun çevresi

Bazen yedigenin sadece r yarıçapı bilinir, bu nedenle bu durum için bir formül geliştirmek gerekir.

Bu amaçla apothem kavramı tanıtıldı. Özdeyiş, normal çokgenin merkezinden bir kenarın orta noktasına giden segmenttir. Bir tarafa göre söz, o tarafa diktir (bkz. Şekil 2).

Şekil 2. Normal bir çokgenin r yarıçaplı kısımları ve onun açıklaması gösterilmiştir. (Kendi detaylandırma)

Ayrıca, öz, merkez tepe noktası ve çokgenin iki ardışık köşesi üzerindeki yanlar ile açının bir açıortaydır, bu bize yarıçap r ve d kenarı arasında bir ilişki bulmamızı sağlar.

Merkez açı DOE β olarak adlandırılırsa ve apothem OJ'nin bir açıortay olduğu hesaba katılırsa, EJ = d / 2 = r Sen (β / 2) elde ederiz, buradan bir çokgenin kenarının d uzunluğunu bulmak için bir ilişkimiz vardır. yarıçapını r ve merkez açısını β biliyor:

d = 2 r Sen (β / 2)

Yedincigen β = 360º / 17 durumunda, elimizde:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Son olarak, yarıçapı bilinen yedincigenin çevresi için formül elde edilir:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Bir yedincigenin çevresi onu çevreleyen çevrenin çevresine yakındır, ancak değeri daha küçüktür, yani çevrelenmiş dairenin çevresi Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r'dir.

alan

Yedincigenin alanını belirlemek için, n kenarlı normal bir çokgenin kenarlarını ve özünü gösteren Şekil 2'ye başvuracağız. Bu şekilde, EOD üçgeni, d tabanına (çokgenin kenarı) çarpı a yüksekliğine (çokgenin özü) bölü 2'ye eşit bir alana sahiptir:

EOD alanı = (dxa) / 2

Yani, yedincigenin öz a ve yan d yanını bilerek, alanı:

Heptadecagon alanı = (17/2) (dxa)

Yan verilen alan

On yedi kenarının uzunluğunu bilen on yedigenin alanı için bir formül elde etmek için, a ve d kenarının uzunluğu arasında bir ilişki elde etmek gerekir.

Şekil 2'ye referansla, aşağıdaki trigonometrik ilişki elde edilir:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, burada β DOE merkez açısıdır. Bu nedenle, çokgenin kenarının uzunluğu d ve merkezi açı β biliniyorsa, söz dizimi a hesaplanabilir:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Bu ifade şimdi apothem ile ikame edilmişse, önceki bölümde elde edilen yedidegenin alanı formülünde, bizde:

Heptadecagon alanı = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Yedigen için β = 360º / 17 olduğundan, nihayet istenen formülü elde ettik:

Heptadecagon alanı = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Yarıçap verilen alan

Önceki bölümlerde, normal bir çokgenin d kenarı ile yarıçapı r arasında bir ilişki bulunmuştu, bu ilişki aşağıdaki gibidir:

d = 2 r Sen (β / 2)

D için bu ifade, alan için önceki bölümde elde edilen ifadeye eklenir. İlgili ikameler ve basitleştirmeler yapılırsa, yedincigenin alanını hesaplamaya izin veren formül elde edilir:

Heptadecagon alanı = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Alan için yaklaşık bir ifade şöyledir:

Heptadecagon alanı = 3.0706 (r ² )

Beklendiği gibi, bu alanda onyedigen bir çevreleyen çember alanı biraz daha küçüktür _Circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Kesin olarak, sınırlandırılmış dairesinden% 2 daha azdır.

Örnekler

örnek 1

Soruyu cevaplamak için normal bir n-kenarlı çokgenin kenarı ile yarıçapı arasındaki ilişkiyi hatırlamak gerekir:

d = 2 r Sen (180º / n)

Heptadecagon için n = 17, yani d = 0.3675 r, yani, heptadecagonun yarıçapı r = 2 cm / 0.3675 = 5.4423 cm veya

10.8844 cm çapında.

2 cm'lik yan yedigenin çevresi P = 17 * 2 cm = 34 cm'dir.

Örnek 2

Bir önceki bölümde gösterilen formüle başvurmalıyız, bu da bir yedincigenin alanını d uzunluğuna sahip olduğunda bulmamızı sağlar:

Heptadecagon alanı = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Önceki formülde d = 2 cm'yi değiştirerek şunu elde ederiz:

Alan = 90,94 cm

Referanslar

1. CEA (2003). Geometri elemanları: alıştırmalar ve pusula geometrisi ile. Medellin Üniversitesi.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Editoryal Patria.
3. Serbest, K. (2007). Çokgenleri Keşfedin. Benchmark Eğitim Şirketi.
4. Hendrik, V. (2013). Genelleştirilmiş Çokgenler. Birkhäuser.
5. Iger. (Sf). Matematik Birinci Dönem Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. (2014). Çokgenler. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren ve Hornsby. (2006). Matematik: Akıl Yürütme ve Uygulamalar (Onuncu Baskı). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Editoryal Progreso.
9. Sada, M. Cetvel ve pusula ile 17 kenarlı düzenli çokgen. Geogebra.org'dan kurtarıldı
10. Vikipedi. Onyedigen. Kurtarıldı: es.wikipedia.com