AKSIYOMATIK YÖNTEM: ÖZELLIKLER, ADIMLAR, ÖRNEKLER - KÜLTÜR KELIME - 2025

Belit yöntemi belit denir ya da düşürülebilmesi bir ilişki ile birbirine bağlı tablolar veya önerme olarak adlandırılan aksiyomların formüle edildiği vasıtasıyla bilimleri ile kullanılan bir prosedür, ve hipotez veya belirli bir sistemin koşulları temeli olduğu.

Bu genel tanım, bu metodolojinin tarih boyunca sahip olduğu evrim çerçevesinde çerçevelenmelidir. İlk olarak, Öklid'den Antik Yunan'da doğan ve daha sonra Aristoteles tarafından geliştirilen antik veya içerikli bir yöntem var.

İkincisi, 19. yüzyılın başlarında, aksiyomları Öklid'inkilerden farklı olan bir geometrinin ortaya çıkışı. Ve son olarak, en büyük üssü David Hilbert olan biçimsel veya modern aksiyomatik yöntem.

Zamanla geliştirilmesinin ötesinde, bu prosedür, ortaya çıktığı geometri ve mantıkta kullanılan tümdengelimli yöntemin temeli olmuştur. Aynı zamanda fizik, kimya ve biyolojide de kullanılmıştır.

Ve hatta hukuk bilimi, sosyoloji ve politik ekonomi içinde uygulanmıştır. Ancak şu anda en önemli uygulama alanı matematik ve sembolik mantık ve diğer disiplinlerin yanı sıra termodinamik, mekanik gibi bazı fizik dallarıdır.

karakteristikleri

Bu yöntemin temel özelliği aksiyomların formülasyonu olmasına rağmen, bunlar her zaman aynı şekilde düşünülmemiştir.

Keyfi bir şekilde tanımlanabilen ve inşa edilebilenler vardır. Ve diğerleri, garantili gerçeğinin sezgisel olarak ele alındığı bir modele göre.

Bu farkın ve sonuçlarının nelerden oluştuğunu spesifik olarak anlamak için, bu yöntemin evriminden geçmek gerekir.

Eski veya içerik aksiyomatik yöntem

Antik Yunan'da M.Ö.5. Yüzyıla doğru kurulmuş olandır. Uygulama alanı geometridir. Bu aşamanın temel çalışması Öklid Unsurları'dır, ancak ondan önce Pisagor'un aksiyomatik yöntemi zaten doğurduğu düşünülmektedir.

Böylece Yunanlılar, herhangi bir mantıksal kanıta ihtiyaç duymadan, yani kanıta ihtiyaç duymadan bazı gerçekleri aksiyom olarak kabul ederler, çünkü onlar için bunlar apaçık bir gerçektir.

Öklid, geometri için beş aksiyom sunar:

1-İki nokta verildiğinde, onları içeren veya birleştiren bir çizgi vardır.

2-Herhangi bir segment her iki tarafta sınırsız bir çizgi halinde sürekli uzatılabilir.

3-Herhangi bir noktada ve herhangi bir yarıçapta merkezi olan bir daire çizebilirsiniz.

4-Dik açıların hepsi aynı.

5-Herhangi bir çizgiyi ve içinde olmayan herhangi bir noktayı alarak ona paralel olan ve o noktayı içeren düz bir çizgi vardır. Bu aksiyom daha sonra paralelliklerin aksiyomu olarak bilinir ve şu şekilde ifade edilir: tek bir paralel, bir çizginin dışındaki bir noktadan çizilebilir.

Bununla birlikte, hem Öklid hem de sonraki matematikçiler, beşinci aksiyomun diğeri kadar sezgisel olarak net olmadığı konusunda hemfikirdir. 4. Rönesans sırasında bile, beşinciyi diğer 4'ten çıkarmaya çalışılır, ancak bu mümkün değildir.

Bu, zaten XIX.Yüzyılda, beşini koruyanların Öklid geometrisinden yana olduklarını ve beşinciyi reddedenlerin Öklid dışı geometrileri yaratanlar olmasını sağladı.

Öklid dışı aksiyomatik yöntem

Öklid'inkiler dışındaki aksiyom sistemlerinden gelen bir geometriyi çelişkisiz inşa etme olasılığını görenler kesinlikle Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai ve Johann Karl Friedrich Gauss'tur. Bu, aksiyomların ve onlardan türetilen teorilerin mutlak gerçeğe veya a prioriye olan inancını yok eder.

Sonuç olarak, aksiyomlar belirli bir teori için başlangıç ​​noktaları olarak düşünülmeye başlar. Ayrıca hem seçimi hem de bir anlamda geçerliliği sorunu, aksiyomatik teorinin dışındaki gerçeklerle ilişkilendirilmeye başlar.

Bu şekilde geometrik, cebirsel ve aritmetik teoriler aksiyomatik yöntemle oluşturulmuş görünür.

Bu aşama, Giuseppe Peano'nun 1891'deki gibi aritmetik için aksiyomatik sistemlerin yaratılmasıyla sonuçlanır; 1899'da David Hubert'in geometrisi; 1910'da İngiltere'de Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell'ın ifadeleri ve tahmin hesaplamaları; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo'nun 1908'deki aksiyomatik küme teorisi.

Modern veya resmi aksiyomatik yöntem

Biçimsel bir aksiyomatik yöntem anlayışını başlatan ve onun doruk noktasına götüren kişi David Hubert'tir, David Hilbert.

Bilimsel dili, ifadelerini kendi içlerinde hiçbir anlamı olmayan formüller veya işaret dizileri olarak gören, kesinlikle Hilbert biçimlendirir. Sadece belirli bir yorumla anlam kazanırlar.

"Geometrinin temelleri" bölümünde bu metodolojinin ilk örneğini açıklıyor. Bundan sonra, geometri, Öklid sisteminden daha iyi ifade edilmiş bir hipotez veya aksiyom sisteminden çıkarılan saf mantıksal sonuçların bilimi haline gelir.

Bunun nedeni, eski sistemde aksiyomatik teorinin aksiyomların kanıtlarına dayanmasıdır. Biçimsel teorinin temelindeyken, aksiyomlarının çelişmemesinin gösterilmesi ile verilir.

adımlar

Bilimsel teoriler içinde aksiyomatik bir yapılanma gerçekleştiren prosedür şunları kabul eder:

a-belirli sayıda aksiyomun seçimi, yani, kanıtlanmaya gerek olmaksızın kabul edilen belirli bir teorinin birkaç önermesi.

b-Bu önermelerin parçası olan kavramlar verilen teori çerçevesinde belirlenmemiştir.

c-Verilen teorinin tanım ve çıkarım kuralları belirlenir ve teori içerisine yeni kavramların girmesine izin verir ve mantıksal olarak bazı önermeleri diğerlerinden çıkarır.

d-teorinin diğer önermeleri, yani teorem, c'ye dayanarak a'dan çıkarılır.

Örnekler

Bu yöntem, en iyi bilinen iki Öklid teoreminin ispatı ile doğrulanabilir: bacaklar teoremi ve yükseklik teoremi.

Her ikisi de, bu Yunan geometrisinin, hipotenüse göre yükseklik bir dik üçgen içinde çizildiğinde, orijinalin iki üçgeni daha ortaya çıktığı gözleminden kaynaklanmaktadır. Bu üçgenler birbirine benzer ve aynı zamanda başlangıç ​​üçgenine benzer. Bu, ilgili homolog taraflarının orantılı olduğunu varsayar.

Üçgenlerdeki uyumlu açıların bu şekilde AAA benzerlik kriterine göre ilgili üç üçgen arasında var olan benzerliği doğruladığı görülebilir. Bu kriter, iki üçgenin tüm açıları aynı olduğunda, bunların benzer olduğunu kabul eder.

Üçgenlerin benzer olduğu gösterildikten sonra, ilk teoremde belirtilen oranlar oluşturulabilir. Dik üçgende, her bir bacağın ölçüsü, hipotenüs ile bacağın üzerindeki izdüşümü arasındaki geometrik orantılı ortalamadır.

İkinci teorem yüksekliktir. Herhangi bir dik üçgenin, hipotenüse göre çizilen yüksekliğin, hipotenüs üzerinde söz konusu geometrik ortalama ile belirlenen segmentler arasındaki geometrik orantılı ortalama olduğunu belirtir.

Tabii ki, her iki teoremin de dünya çapında sadece öğretimde değil aynı zamanda mühendislik, fizik, kimya ve astronomide de sayısız uygulaması vardır.

Referanslar

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, biçimcilik ve sezgi: David Hilbert ve biçimsel aksiyomatik yöntem (1895-1905). Revista de Filosofía, Cilt 39, No. 2, sayfa 121-146. Magazines.ucm.es'den alınmıştır.
2. Hilbert, David. (1918) Aksiyomatik düşünce. W. Ewald, editör, Kant'tan Hilbert'e: matematiğin temelinde bir kaynak kitap. Cilt II, s. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Aksiyomatik yöntem nedir? Synthese, Kasım 2011, cilt 189, s. 69-85. Link.springer.com adresinden alınmıştır.
4. López Hernández, José. (2005). Çağdaş Hukuk Felsefesine Giriş. (Ss.48-49). Books.google.com.ar adresinden alınmıştır.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) The Axiomatic Method, Ricardo Nirenberg'in bir okuması, Sonbahar 1996, Albany Üniversitesi, Rönesans Projesi. Albany.edu'dan alınmıştır.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert Matematiğin resmi ve gayri resmi tarafı arasında. El yazması cilt. 38 hayır. 2, Campinas Temmuz / Ağustos 2015. scielo.br'den alınmıştır.