TAMAMLAYICI OLAYLAR: NELERDEN OLUŞUR VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Ek olaylar bunlardan birliği tamamen örnek boşluk veya deney olası vakaları kapsayacak şekilde yapabiliyor birbirini dışlayan olayların herhangi bir gruba, olarak tanımlanır (kapsayıcıdır).

Kesişimleri boş küme (∅) ile sonuçlanır. İki tamamlayıcı olayın olasılıklarının toplamı 1'e eşittir . Diğer bir deyişle, bu özelliğe sahip 2 olay, bir deney olaylarının olasılığını tamamen kapsar.

Kaynak: pexels.com

Tamamlayıcı olaylar nelerdir?

Bu tür olayları anlamak için çok yararlı genel bir durum, bir zar atmaktır:

Örnek alanı tanımlarken, deneyin sunduğu tüm olası durumlar adlandırılır. Bu set evren olarak bilinir.

Örnek alan (S):

K: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Numune alanında belirtilmeyen seçenekler, deney olanaklarının bir parçası değildir. Örneğin, {yedi rakamı gelir} Olasılığı sıfırdır.

Deneyin amacına göre, gerekirse setler ve alt gruplar tanımlanır. Kullanılacak ayarlı gösterim de çalışılacak hedef veya parametreye göre belirlenir:

A: {Çift sayı çıktı ver} = {2, 4, 6}

B: {Tek sayı alın} = {1, 3, 5}

Bu durumda A ve B olan Tamamlayıcı Olaylar. Çünkü her iki küme de birbirini dışlar (sırayla tek olan bir çift sayı çıkamaz) ve bu kümelerin birleşimi tüm örnek uzayını kapsar.

Yukarıdaki örnekte bulunan diğer olası alt kümeler şunlardır:

C : {Bir asal sayı çıktılar} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

A, B ve C kümeleri sırasıyla Açıklayıcı ve Analitik gösterimle yazılır . Set D için cebirsel gösterim kullanıldı ve deneye karşılık gelen olası sonuçlar Analitik gösterimde açıklandı .

İlk örnekte, A ve B'nin birbirini tamamlayan olaylar olduğu gözlenmiştir.

A: {Çift sayı çıktı ver} = {2, 4, 6}

B: {Tek sayı alın} = {1, 3, 5}

Aşağıdaki aksiyomlar geçerlidir:

1. AUB = S ; İki tamamlayıcı olayın birleşimi , örnek uzayına eşittir
2. Bir ∩B = ∅ ; İki tamamlayıcı olayın kesişimi boş kümeye eşittir
3. A '= B ᴧ B' = A; Her alt küme, homologunun tamamlayıcısına eşittir
4. Bir '∩ A = B' ∩ B = ∅; Bir kümeyi tamamlayıcısı eşittir boş ile kesiştir
5. Bir 'UA = B' UB = S; Bir kümeyi tamamlayıcısı ile birleştirmek örnek alana eşittir

İstatistik ve olasılıklı çalışmalarda, tamamlayıcı olaylar tüm teorinin bir parçasıdır ve bu alanda gerçekleştirilen operasyonlar arasında çok yaygındır.

Tamamlayıcı olaylar hakkında daha fazla bilgi edinmek için, onları kavramsal olarak tanımlamaya yardımcı olan belirli terimleri anlamak gerekir.

Olaylar neler?

Her bir yinelemede sonuç sunabilen, deneylerden kaynaklanan olasılıklar ve olaylardır. Olaylar veri kümeleri ve alt kümelerinin elemanları olarak kaydedilecek oluşturmak, bu verilerdeki eğilimleri olasılığı için çalışma için nedenidir.

Olay örnekleri şunlardır:

• Bozuk para kafaları işaret etti
• Maç berabere sonuçlandı
• Kimyasal 1.73 saniyede reaksiyona girdi
• Maksimum noktadaki hız 30 m / s idi
• Kalıp 4 numarayı işaretledi

Eklenti nedir?

Küme teorisi ile ilgili olarak. Bir Tamamlayıcı , evrenini kuşatmak için bir kümeye eklenmesi gereken örnek uzay kısmını ifade eder. Bütünün parçası olmayan her şeydir.

Küme teorisinde tamamlayıcıyı belirtmenin iyi bilinen bir yolu şudur:

A 'A'nın Tamamlayıcısı

Venn şeması

Kaynak: Pixabay.com

Bu, kümeler, alt kümeler ve öğeler içeren matematik işlemlerinde yaygın olarak kullanılan grafik içerikli analitik bir şemadır. Her küme, bir büyük harf ve her bir elemanını içeren oval bir figürle (bu özellik kullanımında zorunlu değildir) temsil edilir.

Ek olaylar her kümesine karşılık gelen toplayıcılar tespit etmek grafiksel bir yöntem olarak, direkt olarak Venn diyagramları görülür.

Bir kümenin çevresini tamamen görselleştirmek, sınırlarını ve iç yapısını çıkarmak, incelenen kümenin tamamlayıcısına bir tanım verilmesine izin verir.

Tamamlayıcı olay örnekleri

Tamamlayıcı olayların örnekleri, eşitliğin var olamayacağı bir olaydaki başarı ve yenilgidir (Bir beyzbol maçı).

Boole değişkenleri tamamlayıcı olaylardır: Doğru veya yanlış, aynı şekilde doğru veya yanlış, kapalı veya açık, açık veya kapalı.

Tamamlayıcı etkinlik alıştırmaları

1. Egzersiz

S , ondan küçük veya ona eşit tüm doğal sayılarla tanımlanan evren kümesi olsun .

K: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Aşağıdaki S alt kümeleri tanımlanmıştır

H: {Dörtten küçük doğal sayılar} = {0, 1, 2, 3}

J: {Üçün katları} = {3, 6, 9}

K: {Beşin katları} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

A: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Dörtten büyük veya eşit doğal sayılar} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Karar ver:

S'nin alt kümelerinin çiftlerini ilişkilendirerek kaç tamamlayıcı olay oluşturulabilir ?

Tamamlayıcı olayların tanımına göre , gereksinimleri karşılayan çiftler belirlenir (birbirini dışlayan ve katılırken numune alanını kaplar). Alt gruplarının aşağıdaki çiftleri olan tamamlayıcı etkinlik :

• H ve N
• J ve M
• L ve K

Egzersiz 2

Şunu gösterin: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; Kümeler arasındaki kesişim, her iki işlemsel kümeler arasındaki ortak öğeleri verir. Bu şekilde 5 , M ve K arasındaki tek ortak unsurdur .

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Çünkü L ve K tamamlayıcı olan, üçüncü aksiyomu yukarıda yerine Tarıf (Her bir alt takım olarak homologunun tamamlayıcı eşittir)

Egzersiz 3

Tanımla: '

J ∩ H = {3} ; Önceki alıştırmanın ilk adımına homolog bir şekilde.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Bu işlemler birleşik olarak bilinir ve genellikle bir Venn diyagramı ile ele alınır.

' = {0, 1, 2}; Birleşik işlemin tamamlayıcısı tanımlanır.

Egzersiz 4

Şunu kanıtlayın: { ∩ ∩} '= ∅

Küme parantezleri içinde açıklanan bileşik işlem, tamamlayıcı olayların birlikleri arasındaki kesişimleri ifade eder. Bu şekilde, ilk aksiyomu doğrulamaya devam ediyoruz (İki tamamlayıcı olayın birleşimi , örnek boşluğa eşittir).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; Bir kümenin kendisiyle birleşimi ve kesişimi aynı kümeyi oluşturur.

Sonra; S '= ∅ Kümelerin tanımına göre.

Egzersiz 5

Sonuçları boş kümeden (∅) farklı olan alt kümeler arasında 4 kesişim tanımlayın.

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Referanslar

1. BİLGİSAYAR BİLİMLERİ VE BİYOİNFORMATİKTE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN ROLÜ. Irina Arhipova. Letonya Ziraat Üniversitesi, Letonya.
2. Adli Bilim Adamları için İstatistikler ve Delillerin Değerlendirilmesi. İkinci baskı. Colin GG Aitken. Matematik Okulu. The University of Edinburgh, İngiltere
3. TEMEL OLASILIK TEORİSİ, Robert B. Ash. Matematik Bölümü. Illinois Üniversitesi
4. Temel İSTATİSTİKLER. Onuncu Baskı. Mario F. Triola. Boston St.
5. Bilgisayar Bilimlerinde Matematik ve Mühendislik. Christopher J. Van Wyk. Bilgisayar Bilimleri ve Teknolojisi Enstitüsü. Ulusal Standartlar Bürosu. Washington, DC 20234
6. Bilgisayar Bilimleri için Matematik. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Matematik Bölümü ve Bilgisayar Bilimi ve Yapay Zeka Laboratuvarı, Massachussetts Teknoloji Enstitüsü; Akamai Teknolojileri