GAUSS-SEIDEL YÖNTEMI: AÇIKLAMA, UYGULAMALAR, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Gauss-Seidel yöntemi isteğe bağlı olarak seçilmiş bir hassasiyetle cebirsel denklemler sisteminde için yaklaşık çözümler bulmak için yinelemeli bir işlemdir. Yöntem, köşegenlerinde sıfır olmayan elemanlara sahip kare matrislere uygulanır ve matris çapraz olarak baskın ise yakınsama garanti edilir.

1823'te öğrencilerinden birine özel bir gösteri yapan Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tarafından yaratıldı. Daha sonra 1874'te Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) tarafından resmi olarak yayınlandı, dolayısıyla adı her iki matematikçiden.

Şekil 1. Gauss-Seidel yöntemi, bir denklem sisteminin çözümünü elde etmek için hızla birleşir. Kaynak: F. Zapata.

Yöntemin tam olarak anlaşılması için, her sıranın köşegen elemanının mutlak değeri, aynı sıradaki diğer elemanların mutlak değerlerinin toplamından büyük veya ona eşit olduğunda, bir matrisin çapraz olarak baskın olduğunu bilmek gerekir.

Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

Basit bir durum kullanarak açıklama

Gauss-Seidel yönteminin neyi içerdiğini göstermek için, aşağıda gösterilen 2 × 2 doğrusal denklem sisteminde X ve Y değerlerinin bulunabileceği basit bir durumu ele alacağız:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Takip edilecek adımlar

1- İlk olarak, yakınsamanın güvenli olup olmadığını belirlemek gerekir. İlk satırda ilk katsayı ilk satırdaki diğerlerinden daha yüksek bir mutlak değere sahip olduğundan, aslında çapraz olarak baskın bir sistem olduğu hemen gözlenir:

-5 -> - 2-

Aynı şekilde, ikinci sıradaki ikinci katsayı da çapraz olarak baskındır:

--4 -> - 1-

2- X ve Y değişkenleri temizlenir:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- "tohum" adı verilen rastgele bir başlangıç ​​değeri yerleştirilir: Xo = 1, I = 2.

4-Yineleme başlar: ilk yaklaşım X1, Y1'i elde etmek için tohum, adım 2'nin ilk denkleminde ikame edilir ve sonuç adım 2'nin ikinci denkleminde bulunur:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Denklem sisteminin çözümünün ikinci yaklaşımını elde etmek için benzer şekilde ilerliyoruz:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Üçüncü iterasyon:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Bu açıklayıcı vakanın son tekrarı olarak dördüncü iterasyon:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Bu değerler, diğer çözümleme yöntemlerinde bulunan çözümle oldukça uyumludur. Okuyucu, çevrimiçi bir matematik programı yardımıyla hızlı bir şekilde kontrol edebilir.

Yöntemin analizi

Görüldüğü gibi Gauss-Seidel yönteminde, aynı adımda önceki değişken için elde edilen yaklaşık değerler aşağıdaki değişkende ikame edilmelidir. Bu, onu, her adımın bir önceki aşamanın tahminlerini gerektirdiği Jacobi'ler gibi diğer yinelemeli yöntemlerden ayırır.

Gauss-Seidel yöntemi paralel bir prosedür değildir, Gauss-Jordan yöntemi ise böyledir. Gauss-Seidel yönteminin Jordan yöntemine göre daha az adımda daha hızlı yakınsamaya sahip olmasının nedeni de budur.

Çapraz olarak baskın matris durumuna gelince, bu her zaman tatmin olmaz. Bununla birlikte, çoğu durumda, koşulun karşılanması için orijinal sistemden basitçe satırların değiştirilmesi yeterlidir. Ayrıca, diyagonal baskınlık koşulu karşılanmadığında bile, yöntem neredeyse her zaman yakınsar.

Gauss-Seidel yönteminin dört yinelemesiyle elde edilen önceki sonuç, ondalık biçimde yazılabilir:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Önerilen denklem sistemine kesin çözüm şudur:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0.04545.

Yani sadece 4 yineleme ile binde bir hassasiyetle (0,001) sonuç alırsınız.

Şekil 1, ardışık yinelemelerin nasıl hızla kesin çözüme yakınlaştığını göstermektedir.

Uygulamalar

Gauss-Seidel yöntemi yalnızca 2 × 2 doğrusal denklem sistemiyle sınırlı değildir. Önceki prosedür, aşağıdaki gibi bir matriste temsil edilen n bilinmeyenli bir doğrusal n denklem sistemini çözmek için genelleştirilebilir:

Bir X = b

A, bir nxn matrisi iken, X , hesaplanacak n değişkenin n bileşeninin vektörüdür; ve b , bağımsız terimlerin değerlerini içeren bir vektördür.

Açıklayıcı durumda uygulanan yineleme sırasını, Xi değişkeninin hesaplanmasını istediği bir nxn sistemine genellemek için aşağıdaki formül uygulanacaktır:

Bu denklemde:

- k, k iterasyonunda elde edilen değerin indeksidir.

-k + 1, aşağıdaki yeni değeri gösterir.

Nihai yineleme sayısı, k + 1 yinelemesinde elde edilen değer, tam olarak istenen kesinlik olan ε miktarıyla hemen önce elde edilenden farklı olduğunda belirlenir.

Gauss-Seidel yöntemine örnekler

- Örnek 1

Yaklaşık çözümler vektörünü hesaplar sağlayan bir genel algoritma Yazın X , A, bağımsız terimler vektör katsayıları matrisi verilen formül, NxN sayıda doğrusal bir sistemin, b , yineleme sayısı, (i ter) ve başlangıç değeri ya da "tohum " X vektörünün .

Çözüm

Algoritma, biri yineleme sayısı ve diğeri değişken sayısı için olmak üzere iki "Kime" döngüsünden oluşur. Aşağıdaki gibi olacaktır:

K için ∊

Ben için For

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Örnek 2

Windows ve Android için mevcut olan ücretsiz ve kullanımı ücretsiz matematiksel yazılım SMath Studio'daki uygulaması aracılığıyla önceki algoritmanın işleyişini kontrol edin. Örnek olarak, Gauss-Seidel yöntemini göstermemize yardımcı olan 2 × 2 matrisini ele alalım.

Çözüm

Şekil 2. SMath Studio yazılımını kullanarak 2 x 2 örneğinin denklem sisteminin çözümü. Kaynak: F. Zapata.

- Örnek 3

Gauss-Seidel algoritmasını aşağıdaki 3 × 3 denklem sistemi için uygulayın; bu, daha önce köşegen katsayılarının baskın olacağı şekilde (yani, katsayılarının mutlak değerlerinden daha büyük mutlak değerde) sıralanmıştır. aynı satır):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Boş vektörü çekirdek olarak kullanın ve beş yinelemeyi düşünün. Sonuç hakkında yorum yapın.

Çözüm

Şekil 3. Çözülmüş örnek 3'ün denklem sisteminin SMath Studio kullanılarak çözümü. Kaynak: F. Zapata.

5 yerine 10 iterasyonlu aynı sistem için aşağıdaki sonuçlar elde edilir: X1 = -0.485; X2 = 1.0123; X3 = -0.3406

Bu bize, üç ondalık kesinlik basamağı elde etmek için beş yinelemenin yeterli olduğunu ve yöntemin hızla çözüme yakınlaştığını söyler.

- Örnek 4

Yukarıda verilen Gauss-Seidel algoritmasını kullanarak, aşağıda verilen 4 × 4 denklem sisteminin çözümünü bulun:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Yöntemi başlatmak için şu tohumdan yararlanın:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 ve x4 = 0

10 yineleme düşünün ve sonucun hatasını 11 numaralı yineleme ile karşılaştırarak tahmin edin.

Çözüm

Şekil 4. SMath Studio kullanılarak çözülmüş örnek 4'ün denklem sisteminin çözümü. Kaynak: F. Zapata.

Bir sonraki yinelemeyle (11 numara) karşılaştırırken, sonuç aynıdır. İki yineleme arasındaki en büyük farklar 2 × ^{10-8 sırasındadır} , bu da görüntülenen çözümün en az yedi ondalık basamak hassasiyetine sahip olduğu anlamına gelir.

Referanslar

1. Yinelemeli çözüm yöntemleri. Gauss-Seidel. Kurtarıldı: cimat.mx
2. Sayısal yöntemler. Gauss-Seidel. Kurtarıldı: test.cua.uam.mx
3. Sayısal: Gauss-Seidel yöntemi. Kurtarıldı: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Vikipedi. Gauss-Seidel yöntemi. Kurtarıldığı yer: en. wikipedia.com
5. Vikipedi. Gauss-Seidel yöntemi. Kurtarıldı: es.wikipedia.com