- Varlığın kanıtı ve teklik teoremi
- Örnekler
- - Örnek 1
- Yanıtlar
- - Örnek 2
- cevap
- Çözülmüş egzersizler
- - 1. Egzersiz
- Çözüm
- - Egzersiz 2
- Çözüm
- Referanslar
Varlığı ve teklik teoremi sadece biri için bir çözüm ve bu çözüm için, verilen bir başlangıç koşulu ile, bir birinci dereceden diferansiyel denklem için gerekli ve yeterli şartları oluşturur.
Ancak teorem, böyle bir çözümün nasıl bulunacağına dair herhangi bir teknik veya gösterge vermez. Varoluş ve benzersizlik teoremi, Cauchy problemi olarak bilinen başlangıç koşullarıyla daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere de genişletilmiştir.
Şekil 1. Başlangıç koşuluyla bir diferansiyel denklem ve çözümü gösterilmiştir. Varlık ve Teklik Teoremi, bunun tek olası çözüm olduğunu garanti eder.
Varoluş ve teklik teoreminin resmi ifadesi aşağıdaki gibidir:
"Y (a) = b başlangıç koşulu olan y '(x) = f (x, y) diferansiyel denklemi için, XY düzleminin dikdörtgen bölgesinde (a, b) noktasını içeren en az bir çözüm vardır, eğer f (x, y) o bölgede süreklidir. Ve f'nin y: g = ∂f / ∂y'ye göre kısmi türevi aynı dikdörtgen bölgede süreklilik gösteriyorsa, çözüm fy'nin süreklilik bölgesinde bulunan (a, b) noktasının bir çevresinde benzersizdir. g. "
Bu teoremin faydası, öncelikle XY düzleminde bir çözümün bulunabileceği bölgelerin hangileri olduğunu bilmekte ve ayrıca bulunan çözümün tek olası çözüm mü yoksa başka bir çözüm mü olduğunu bilmekte yatar.
Benzersizlik koşulunun karşılanmaması durumunda, teoremin Cauchy probleminin toplamda kaç çözümü olduğunu tahmin edemeyeceğini unutmayın: belki bir, iki veya daha fazladır.
Varlığın kanıtı ve teklik teoremi
Şekil 2. Charles Émile Picard (1856-1941), Varlık ve Teklik Teoreminin ilk kanıtlarından biri ile anılır. Kaynak: Wikimedia Commons.
Bu teorem için, biri Charles Émile Picard'ın (1856-1941) kanıtı, diğeri ise Augustin Louis Cauchy'nin (1789-1857) eserlerine dayanan Giuseppe Peano'nun (1858-1932) ispatı olmak üzere iki olası kanıt bilinmektedir. .
On dokuzuncu yüzyılın en parlak matematiksel zihinlerinin bu teoremin ispatına katılması dikkat çekicidir, bu yüzden ikisinin de basit olmadığı sezilebilir.
Teoremi resmi olarak kanıtlamak için, önce Lipschitz tipi fonksiyonlar, Banach uzayları, Carathéodory'nin varoluş teoremi ve makalenin kapsamı dışında kalan birkaç diğerleri gibi bir dizi daha gelişmiş matematiksel kavram oluşturmak gerekir.
Fizikte ele alınan diferansiyel denklemlerin büyük bir kısmı, ilgilenilen bölgelerdeki sürekli fonksiyonlarla ilgilenir, bu nedenle teoremin basit denklemlerde nasıl uygulandığını göstermekle kendimizi sınırlayacağız.
Örnekler
- Örnek 1
Aşağıdaki diferansiyel denklemi bir başlangıç koşuluyla ele alalım:
y '(x) = - y; y (1) = 3 ile
Bu problem için bir çözüm var mı? Mümkün olan tek çözüm bu mu?
Yanıtlar
İlk olarak diferansiyel denklemin çözümünün varlığı değerlendirilir ve başlangıç koşulunu da yerine getirir.
Bu örnekte f (x, y) = - ve mevcudiyet koşulu, x = 1, y = 3 koordinatlarının noktasını içeren XY düzleminin bir bölgesinde f (x, y) 'nin sürekli olup olmadığını bilmeyi gerektirir.
Ancak f (x, y) = - y, gerçek sayılar alanında sürekli olan ve gerçek sayıların aralığı boyunca var olan afin fonksiyonudur.
Bu nedenle, F (x, y), R sürekli olduğu sonucuna varılmaktadır 2 teoremi en az bir çözelti varlığını garanti, böylece.
Bunu bilerek çözümün benzersiz olup olmadığını veya tam tersine birden fazla olup olmadığını değerlendirmek gerekir. Bunun için f değişkeninin y değişkenine göre kısmi türevini hesaplamak gerekir:
Sonra g (x, y) = -1, tüm R için tanımlanan bir sabit fonksiyon, olduğu 2 ve aynı zamanda sürekli vardır. Buradan, varoluş ve benzersizlik teoreminin, bize ne olduğunu söylemese de, bu başlangıç değeri sorununun benzersiz bir çözümü olduğunu garanti ettiği anlaşılmaktadır.
- Örnek 2
Aşağıdaki birinci dereceden adi diferansiyel denklemi başlangıç koşuluyla düşünün:
y '(x) = 2√y; ve (0) = 0.
Bu probleme bir y (x) çözümü var mı? Eğer öyleyse, birden fazla olup olmadığını belirleyin.
cevap
F (x, y) = 2√y fonksiyonunu kabul ediyoruz. Negatif bir sayının gerçek kökü olmadığını bildiğimiz için f fonksiyonu yalnızca y≥0 için tanımlanır. Bundan başka (x, y) Rf üst yarısı düzleminde sürekli 2 , X-ekseni de dahil olmak üzere söz konusu bölgede varlığı ve teklik teoremi garanti en az bir çözüm,.
Şimdi başlangıç koşulu x = 0, y = 0, çözüm bölgesinin kenarındadır. Sonra f (x, y) 'nin y'ye göre kısmi türevini alıyoruz:
∂f / ∂y = 1 / √y
Bu durumda fonksiyon, tam olarak başlangıç koşulunun olduğu y = 0 için tanımlanmaz.
Teorem bize ne anlatıyor? X ekseninin üst yarı düzleminde X ekseni dahil en az bir çözüm olduğunu bilmemize rağmen, benzersizlik koşulu karşılanmadığı için benzersiz bir çözüm olacağının garantisi olmadığını söyler.
Bu, f (x, y) sürekliliği bölgesinde bir veya birden fazla çözüm olabileceği anlamına gelir. Ve her zaman olduğu gibi, teorem bize bunların ne olabileceğini söylemiyor.
Çözülmüş egzersizler
- 1. Egzersiz
Örnek 1'deki Cauchy problemini çözün:
y '(x) = - y; y (1) = 3 ile.
Diferansiyel denklemi ve başlangıç koşulunu sağlayan y (x) fonksiyonunu bulun.
Çözüm
Örnek 1'de, bu sorunun bir çözümü olduğu ve aynı zamanda benzersiz olduğu belirlendi. Çözümü bulmak için dikkat edilmesi gereken ilk şey, aşağıdaki gibi yazılan ayrılabilir değişkenlerin birinci derece diferansiyel denklemi olmasıdır:
Sahip olduğumuz değişkenleri ayırmak için her iki üye arasında ve içinde bölme:
Belirsiz integral her iki üyeye de uygulanır:
Elimizdeki belirsiz integralleri çözmek:
C, başlangıç koşulu tarafından belirlenen bir entegrasyon sabitidir:
C'nin değerini değiştirmek ve yeniden düzenlemek kalır:
Aşağıdaki logaritma özelliğini uygulamak:
Yukarıdaki ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:
Her iki üyede e tabanına sahip üstel fonksiyon aşağıdakileri elde etmek için uygulanır:
y / 3 = e (1 - x)
Aşağıdakilere eşdeğerdir:
y = 3e e -x
Bu, y (1) = 3 ile y '= -y denkleminin benzersiz çözümüdür. Bu çözümün grafiği Şekil 1'de gösterilmektedir.
- Egzersiz 2
Örnek 2'de ortaya konan sorun için iki çözüm bulun:
y '(x) = 2√ (y); ve (0) = 0.
Çözüm
Ayrıca, diferansiyel formda yazılan ayrılabilir değişkenlerin bir denklemidir:
dy / √ (y) = 2 dx
Her iki üyede de belirsiz integrali almak kalır:
2 √ (y) = 2 x + C
Çözüm bölgesinde y≥0 olduğunu bildiğimiz için elimizde:
y = (x + C) 2
Ancak başlangıç koşulu x = 0, y = 0 yerine getirilmesi gerektiğinden, C sabiti sıfırdır ve aşağıdaki çözüm kalır:
y (x) = x 2 .
Ancak bu çözüm benzersiz değildir, y (x) = 0 işlevi de ortaya çıkan soruna bir çözümdür. Örnek 2'de bu probleme uygulanan varoluş ve teklik teoremi, birden fazla çözüm olabileceğini önceden tahmin etmişti.
Referanslar
- Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Sıradan Diferansiyel Denklemler Teorisi, New York: McGraw-Hill.
- Matematik Ansiklopedisi. Cauchy-Lipschitz teoremi. Encyclopediaofmath.org'dan kurtarıldı
- Lindelöf, Sur l'application de la méthode des yaklaşımı ardışık yardımcı équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Cilt 116, 1894, s. 454–457. Gallica.bnf.fr'den kurtarıldı.
- Vikipedi. Picard'ın ardışık yaklaşım yöntemi. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
- Vikipedi. Picard-Lindelöf teoremi. Es.wikipedia.com adresinden kurtarıldı.
- Zill, D. 1986. Uygulamaları ile Temel Diferansiyel Denklemler Prentice Hall.