BOOLE CEBRI: TARIH, TEOREMLER VE POSTÜLATLAR, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Boole cebri veya Boole cebri ikili değişkenler tedavisinde kullanılan cebirsel bir nottur. Tamamlayıcı ve birbirini dışlayan sadece 2 olası sonucu olan herhangi bir değişkenin çalışmalarını kapsar. Örneğin, tek olasılığı doğru veya yanlış, doğru veya yanlış, açık veya kapalı olan değişkenler Boole cebri çalışmasının temelidir.

Boole cebri, günümüzde oldukça mevcut kılan dijital elektroniğin temelini oluşturur. Geleneksel cebirde bilinen işlemlerin önemli ölçüde etkilendiği mantık kapıları kavramı tarafından yönetilir.

Kaynak: pexels.com

Tarih

Boole cebri, 1854'te, zamanın kendi kendini yetiştirmiş bir bilim adamı olan İngiliz matematikçi George Boole (1815 - 1864) tarafından tanıtıldı. Endişesi, Augustus De Morgan ve William Hamilton arasında, bu mantıksal sistemi tanımlayan parametreler hakkındaki mevcut bir anlaşmazlıktan kaynaklanıyordu.

George Boole, 0 ve 1 sayısal değerlerinin tanımının mantık alanında sırasıyla Hiçbir Şey ve Evren yorumuna karşılık geldiğini savundu.

George Boole'un niyeti, cebirin özellikleri aracılığıyla, ikili türdeki değişkenlerle başa çıkmak için gerekli olan önermeler mantığının ifadelerini tanımlamaktı.

1854'te Boole cebirinin en önemli bölümleri "Mantık ve olasılık matematiksel teorilerinin dayandığı düşünce yasalarının incelenmesi" adlı kitapta yayınlandı.

Bu ilginç başlık daha sonra "Düşünce kanunları" ("Düşünce kanunları") olarak özetlenecekti. Unvan, zamanın matematik camiasından aldığı ilgiyle ün kazandı.

1948'de Claude Shannon bunu iki dengeli elektrik anahtarlama devrelerinin tasarımına uyguladı. Bu, Boole cebirinin tüm elektronik-dijital şema içinde uygulanmasına bir giriş işlevi gördü.

yapı

Bu tür cebirdeki temel değerler 0 ve 1'dir ve sırasıyla YANLIŞ ve DOĞRU'ya karşılık gelir. Boole cebirindeki temel işlemler 3'tür:

- VE işlemi veya bağlantı. Bir nokta (.) İle temsil edilir. Ürünün eşanlamlısı.

- VEYA operasyon veya ayrılma. Bir çarpı ile temsil edilir (+) Toplamın eşanlamlısı.

- İşlem veya olumsuzluk DEĞİL. NOT (NOT A) ön ekiyle temsil edilir. Tamamlayıcı olarak da bilinir.

Bir kümede A 2 iç kompozisyon yasası ürün ve toplam (. +) Olarak tanımlanırsa, üçlü (A. +) bir Boole cebri olduğu söylenir, ancak ve ancak söz konusu üçlü bir kafes olma koşulunu karşılarsa dağıtıcı.

Bir dağıtım kafesi tanımlamak için, verilen işlemler arasında dağıtım koşulları karşılanmalıdır:

. toplam + a'ya göre dağılımlıdır . (b + c) = (bir. b) + (bir. c)

+ ürüne göre dağıtılır. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

A kümesini oluşturan öğeler ikili olmalıdır, dolayısıyla evren veya boşluk değerlerine sahip olmalıdır.

Uygulamalar

Ana uygulama senaryosu, ilgili mantıksal işlemleri oluşturan devreleri yapılandırmaya hizmet ettiği dijital daldır. İşlemleri optimize etme lehine devre basitliği sanatı, Boole cebirinin doğru uygulanmasının ve uygulamasının sonucudur.

Elektrik panolarının detaylandırılmasından, veri aktarımından geçerek farklı dillerde programlamaya ulaşmaya kadar, Boole cebirini her türlü dijital uygulamada sıklıkla bulabiliriz.

Boole değişkenleri, programlama yapısında çok yaygındır. Kullanılan programlama diline bağlı olarak, bu değişkenleri kullanan kodda yapısal işlemler olacaktır. Her dilin koşul ve bağımsız değişkenleri, süreçleri tanımlamak için Boole değişkenlerini kabul eder.

Postulaları

Boole cebirinin yapısal mantık yasalarını yöneten teoremler vardır. Aynı şekilde, gerçekleştirilen işleme bağlı olarak farklı ikili değişken kombinasyonlarında olası sonuçları bilmek için varsayımlar vardır.

Toplam (+)

Mantıksal öğesi birleşim (U) olan OR operatörü , ikili değişkenler için aşağıdaki gibi tanımlanır:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Ürün (.)

Mantıksal öğesi kesişim (∩) olan AND operatörü , ikili değişkenler için aşağıdaki gibi tanımlanır:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

bir . 0 = 0

bir . 1 = 1

Ters (DEĞİL)

Mantıksal öğesi tamamlayıcı (X) 'olan NOT operatörü , ikili değişkenler için şu şekilde tanımlanır:

0 = 1 DEĞİL

DEĞİL 1 = 0

Postülaların çoğu, geleneksel cebirdeki emsallerinden farklıdır. Bu, değişkenlerin etki alanından kaynaklanmaktadır. Örneğin, Boole cebirinde (1 + 1) evren elemanları eklemek, ikili kümenin elemanlarına ait olmadığı için 2'nin geleneksel sonucunu veremez.

teoremler

Sıfır ve birlik kuralı

İkili değişkenlere sahip bir elemanı içeren herhangi bir basit işlem tanımlanır:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

bir . A = A

Eşit güçler veya idempotency

Eşit değişkenler arasındaki işlemler şu şekilde tanımlanır:

A + A = A

K. A = A

tamamlama

Bir değişken ile onun tamamlayıcısı arasındaki herhangi bir işlem şu şekilde tanımlanır:

A + DEĞİL A = 1

K. DEĞİL A = 0

İnvolüsyon veya çift olumsuzluk

Herhangi bir çift olumsuzlama, doğal değişken olarak kabul edilecektir.

DEĞİL (A DEĞİL) = A

degiştirilebilen

A + B = B + A; Toplamın değişme gücü.

K. B = B. K; Ürünün değişme gücü.

çağrışımsal

Bir + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Toplamın ilişkilendirilebilirliği.

K. (B.C) = (A.B). C = A. B. ° C; Ürün çağrışımı.

dağıtım

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Toplamın ürüne göre dağılımı.

K. (B + C) = (A. B) + (A + C); Ürünün toplama göre dağılımı.

Emilim kanunları

Birden fazla referans arasında birçok özümseme yasası vardır, en iyi bilinenlerden bazıları şunlardır:

K. (A + B) = A

K. (A + B DEĞİL) = A. B

A DEĞİL (A + B) = A DEĞİL. B

(A + B). (A + B DEĞİL) = A

A + A. B = A

A + DEĞİL A. B = A + B

A + A DEĞİL B = A + B DEĞİL

K. B + A. B = A DEĞİL

Morgan teoremi

Boole cebirinin (+.) Tanımlanmış işlemleri arasında etkileşen değişken çiftlerini işleyen dönüşüm yasalarıdır.

DEĞİL (A.B) = A DEĞİL + B DEĞİL

DEĞİL (A + B) = A DEĞİL. B DEĞİL

A + B = DEĞİL (A DEĞİL + B DEĞİL)

K. B = DEĞİL (A DEĞİL B)

ikilik

Tüm postülatlar ve teoremler dualite yetisine sahiptir. Bu, değişkenlerin ve işlemlerin değiş tokuşu ile ortaya çıkan önermenin doğrulanması anlamına gelir. Yani, 0'ı 1 ile ve VE'yi VEYA için veya tam tersi; tamamen geçerli olacak bir ifade oluşturulur.

Örneğin varsayım alınırsa

bir . 0 = 0

Ve dualite uygulanıyor

0 + 1 = 1

Tamamen geçerli başka bir postülat elde edildi.

Karnaugh Haritası

Karnaugh haritası, mantıksal fonksiyonları basitleştirmek için Boole cebirinde kullanılan bir diyagramdır. Önerme mantığının doğruluk tablolarına benzer iki boyutlu bir düzenlemeden oluşur. Doğruluk tablolarındaki veriler doğrudan Karnaugh haritasında yakalanabilir.

Karnaugh haritası, 6 değişkene kadar süreçleri barındırabilir. Daha fazla değişkene sahip fonksiyonlar için, süreci basitleştirmek için yazılım kullanımı önerilir.

1953'te Maurice Karnaugh tarafından önerilen, Boole cebri alanında sabit bir araç olarak kuruldu, çünkü uygulaması, dijital süreçlerin akışkanlığında önemli bir unsur olan Boole ifadelerini basitleştirme ihtiyacıyla insan potansiyelini senkronize ediyor.

Örnekler

Boole cebri, önceliğin devrenin karmaşıklığını veya seviyesini mümkün olan en düşük ifadesine getirmek olduğu bir devrede mantık kapılarını azaltmak için kullanılır. Bu, her geçidin varsaydığı hesaplama gecikmesinden kaynaklanmaktadır.

Aşağıdaki örnekte, mantıksal bir ifadenin, Boole cebirinin teoremlerini ve postülatlarını kullanarak, minimum ifadesine sadeleştirilmesini gözlemleyeceğiz.

DEĞİL (AB + A + B). DEĞİL (A + DEĞİL B)

DEĞİL. DEĞİL (A + DEĞİL B); A'yı ortak bir faktörle çarpanlarına ayırmak.

DEĞİL. DEĞİL (A + DEĞİL B); Teorem ile A + 1 = 1.

DEĞİL (A + B). DEĞİL (A + DEĞİL B); teorem A. 1 = A

(A DEĞİL, B DEĞİL). ;

Morgan teoremine göre NOT (A + B) = NOT A. B DEĞİL

(A DEĞİL, B DEĞİL). (A. B DEĞİL); Çift olumsuzluk teoremi ile NOT (NOT A) = A

A DEĞİL. DEĞİL B. A DEĞİL. B; Cebirsel gruplama.

A DEĞİL. A DEĞİL. DEĞİL B. B; A ürününün değişme özelliği B = B. TO

A DEĞİL. DEĞİL B. B; Teorem A. A = A

A DEĞİL. 0; Teorem A. DEĞİL A = 0

0; Teorem A. 0 = 0

K. B. C + DEĞİL A + A. DEĞİL B. C

K. C. (B + B DEĞİL) + A DEĞİL; Ortak bir faktör ile faktoring (A. C).

K. C. (1) + A DEĞİL; Teorem ile A + NOT A = 1

K. C + A DEĞİL; Sıfır teoremi ve birlik kuralı ile 1. A = A

A + C DEĞİL ; Morgan A + NOT A yasasına göre. B = A + B

Bu çözüm için, Morgan yasası şunları tanımlayacak şekilde genişletilmelidir:

DEĞİL (A DEĞİL). C + DEĞİL A = A + C DEĞİL

Çünkü EVİRME ile DEĞİL (A DEĞİL) = A.

Mantık işlevini basitleştirin

A DEĞİL. DEĞİL B. C + DEĞİL A. DEĞİL B. C + DEĞİL A. Minimum ifadesine kadar C DEĞİL

A DEĞİL. DEĞİL B. (C + C DEĞİL) + A DEĞİL C DEĞİL; Ortak faktör ile faktoring (A DEĞİL B)

A DEĞİL. DEĞİL B. (1) + A DEĞİL C DEĞİL; Teorem ile A + NOT A = 1

(A. DEĞİL B) + (A. DEĞİL C); Sıfır teoremi ve birlik kuralı ile 1. A = A

A DEĞİL (B DEĞİL + C DEĞİL); A DEĞİL ortak bir faktörle faktoring

A DEĞİL. DEĞİL (B. C); Morgan yasalarına göre NOT (A.B) = NOT A + NOT B

DEĞİL Morgan'ın yasalarına göre DEĞİL (A. B) DEĞİL A + DEĞİL B =

Kalın yazılmış 4 seçenekten herhangi biri, devrenin seviyesini düşürmek için olası bir çözümü temsil eder

Mantıksal işlevi en basit haliyle basitleştirin

(A. DEĞİL B. C + A. DEĞİL B. B. D + DEĞİL A. B DEĞİL). C

(A. DEĞİL B. C + A. 0. D + DEĞİL A. B DEĞİL). ° C; Teorem A. DEĞİL A = 0

(A. DEĞİL B. C + 0 + DEĞİL A. B DEĞİL). ° C; Teorem A. 0 = 0

(A. DEĞİL B. C + DEĞİL A. B DEĞİL). ° C; Teorem ile A + 0 = A

K. DEĞİL B. C. C + DEĞİL A. DEĞİL B. ° C; Ürünün toplama göre dağılımına göre

K. DEĞİL B. C + DEĞİL A. DEĞİL B. ° C; Teorem A. A = A

DEĞİL B. C (A + A DEĞİL) ; Ortak faktörlü faktoring (B DEĞİL)

DEĞİL B. C (1); Teorem ile A + NOT A = 1

DEĞİL B. ° C; Sıfır teoremi ve birlik kuralı ile 1. A = A

Referanslar

1. Boole cebri ve uygulamaları J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Bilgisayar Bilimlerinde Matematik ve Mühendislik. Christopher J. Van Wyk. Bilgisayar Bilimleri ve Teknolojisi Enstitüsü. Ulusal Standartlar Bürosu. Washington, DC 20234
3. Bilgisayar Bilimleri için Matematik. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Matematik Bölümü ve Bilgisayar Bilimi ve Yapay Zeka Laboratuvarı, Massachussetts Teknoloji Enstitüsü; Akamai Technologies.
4. Soyut Analizin Unsurları. Mícheál O'Searcoid PhD. Matematik bölümü. Dublin Üniversitesi, Beldfield, Dublind.
5. Mantığa ve Tümdengelimli Bilimlerin Metodolojisine Giriş. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford Üniversitesi basını.